Verificare una linea di trend: residui, ADF e KPSS

Una linea di trend si adatta a qualsiasi cosa. Ed è proprio questo il problema delle linee di trend.

Tracciane una su una passeggiata aleatoria e ottieni una pendenza, un R² e una storia. La pendenza è vera, nel senso che l’aritmetica è corretta. Non è vera nel senso che il prossimo anno la seguirà.

Quindi, prima che la pendenza entri in un piano, fai alla serie una sola domanda: quello che la linea non ha colto è solo rumore, o è la forma vera dei dati?

Il grafico mostra i residui. Lo stesso adattamento di tre settimane fa, con la linea sottratta. Quello che vuoi vedere è una nuvola intorno allo zero, senza memoria di sé. Quello che non vuoi vedere è un’onda lenta, in cui un mese sopra la linea è seguito da altri tre sopra la linea: è una serie che si porta dietro il proprio slancio, e una retta è lo strumento sbagliato per descriverla.

A decidere sono due test, e per costruzione partono da ipotesi opposte.

ADF p = 0,001. L’ipotesi nulla è una radice unitaria, cioè una serie senza un livello fisso, che vaga dovunque l’abbia lasciata l’ultimo shock. A 0,001 quell’ipotesi è respinta.

KPSS p = 0,17. L’ipotesi nulla è l’opposto: la serie è stazionaria intorno al suo trend. A 0,17 quell’ipotesi regge.

Tutti e due indicano la stessa direzione, ed è l’unica combinazione su cui valga la pena agire. Il verdetto è stazionaria intorno al trend: questa serie ha un livello a cui torna, e quel livello si muove in linea retta. La pendenza sopravvive alla propria memoria.

Esegui gli stessi due test su una passeggiata aleatoria e ottieni la coppia opposta, insieme a una pendenza che non avresti mai dovuto citare. È la differenza tra un trend e una coincidenza durata cinque anni.

Un’altra riga che merita una seconda lettura: qui l’errore standard è HAC, Bartlett con ampiezza di banda n/2, con valori critici fixed-b. Detto in parole semplici, la barra d’errore viene allargata per tenere conto del fatto che i residui sono correlati, perché assumere l’indipendenza su una serie mensile è il modo in cui un p-value diventa teatro.

Un trend non è una linea che si disegna. È un’affermazione che si mette alla prova, e la prova può dire di no.

C’è una ragione pratica per cui questo conta proprio nel marketing. Incrementalità, media mix, attribuzione: tutte misurano una campagna contro un controfattuale, e il controfattuale è quasi sempre una qualche versione di questa linea. Se la linea è stimata su una serie che vaga, ogni euro di contributo misurato a valle eredita quell’errore, e lo eredita in silenzio.

Due test e un errore standard allargato richiedono pochi secondi. Scoprire diciotto mesi dopo che la baseline era una passeggiata aleatoria costa un ciclo di budget.

Il grafico è l’output reale di Analisi del trend in TEA. La diagnostica arriva insieme alla pendenza, non su richiesta.